其他回答

• 伽罗瓦群论的诞生方程论是古典代数的中心课题。直到19世纪中叶，代数仍是一门以方程式论为中心的数学学科，代数方程的求解问题依然是代数的基本问题，特别是用根式求解方程。所谓方程有根式解为例，伽罗瓦从中发现了这些预解式实质上是一个二次的二项方程，既然可解原理对高次方程也适用，那么对于能用根式求解的一般高次方程，它的预解式方程组必定存在，并且所有的预解式都应是一个素数次p的二项方程xp=a。由于高斯早已证明二项方程是可用根式求解的。因此反之，如果任一高次方程所有的逐次预解式都是二项方程，则能用根式求解原方程。于是，伽罗瓦引出了根式求解原理，并且还引入了群论中的一个重要概念“正规子群”。他是这样给正规子群下定义的：设h是g的一个子群，如果对g中的每个g都有gh=hg，则称h为g的一个正规子群，其中gh表示先实行置换g，然后再应用h的任一元素，即用g的任意元素g乘h的所有置换而得到的一个新置换集合。定义引入后，伽罗瓦证明了当作为约化方程的群如由g约化到h1的预解式是一个二项方程xp=ap为素数时，则h1是g的一个正规子群。反之，若h1是g的正规子群，且指数为素数p，则相应的预解式一定是p次二项方程。他还定义了极大正规子群：如果一个有限群有正规子群，则必有一个子群，其阶为这有限群中所有正规子群中的最大者，这个子群称为有限群的极大正规子群。一个极大正规子群又有它自己的极大正规子群，这种序列可以逐次继续下去。因而任何一个群都可生成一个极大正规子群序列。他还提出把一个群g生成的一个极大正规子群序列标记为g、h、i、j…,则可以确定一系列的极大正规子群的合成因子=n!/2/1=n!/2，2是质数，但当n≥5时，n！/2不是质数，所以一般的高于四次的方程是不能用根式求解的。至此，伽罗瓦完全解决了方程的可解性问题。顺带提一下，阿贝尔是从交换群入手考虑问题的，他的出发点与伽罗瓦不同，但他们的结果都是相同的，都为了证其为可解群，并且伽罗瓦还把阿贝尔方程进行了推广，构造了一种现在称之为伽罗瓦方程的方程，伽罗瓦方程的每个根都是其中两个根的带有系数域中系数的有理函数。三.伽罗瓦群论的历史贡献伽罗瓦创立群论是为了应用于方程论，但他并不局限于此，而是把群论进行了推广，作用于其他研究领域。可惜的是，伽罗瓦群论的理论毕竟太深奥，对十九世纪初的人们来说是很难理解的，连当时的数学大师都不能理解他的数学思想和他的工作的实质，以至他的论文得不到发表。更不幸的是伽罗瓦在二十一岁时便因一场愚蠢的决斗而早逝，我们不得不为这位天才感到惋惜。到十九世纪六十年代，他的理论才终于为人们所理解和接受。伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。bbs.lunqun.com/domain.php论群网可以去看看。
  黄睿刚2019-12-21 23:37:33
• 我们知道群论是数学的一个重要分支，它在很多学科都有重要的应用，例如在物理中的应用，群论是量子力学的基础。本课程的目的是为了使学生对群论的基本理论有感性的认识和理性的了解。本课程介绍群论的基本理论及某些应用。主要内容有：首先介绍群、子群、群同构的概念及有关性质，这是了解群的第一步。然后较为详细地讨论了两类最常见的群：循环群与置换群，包括一些例题和练习，可以熟悉群的运算和性质，加深对群的理解。并且介绍置换群的某些应用。然后对群论中某些重要的概念作专题讨论。首先定义并讨论群的子集的运算；由群的子集的运算，引出并讨论了子群的陪集的概念与性质。定义并讨论了正规子群与商群的概念与性质。借助于商群的概念证明了群同态基本定理，从而对群的同态象作出了系统的描述。这部分内容是群论中最基本的内容，是任何一个希望学习群论的读者所必须掌握的。并且给出群的直积的概念，这是研究群的结构不可缺少的工具。最后是群表示论的基本理论及应用，包括矢量空间与函数空间，矩阵的秩与直积，不变子空间与可约表示、shur引理、正交理论、特征标、正规函数、基函数、表示的直积等的概念。在群的表示理论之后，就是它在量子力学中的应用，例如从群论的角度解决一些量子力学问题，主要包括哈密顿算符的对称性，距阵元定理和选择定则。从而达到了解群论的基础知识以及有限群的表示理论，为群论在物理学中的应用打下基础的目的。Grouptheoryisoneofthegreatsimplifyingandunifyingideasinmodernmathematics,andithasimportantapplicationsinmanyscientificfields.Forexample,grouptheoryisthegroundofQuantumMechanics.Itwasintroducedinordertounderstandthesolutionstopolynomialequations,butonlyinthelastonehundredyearshasitsfullsignificance,asamathematicalformulationofsymmetry,beenunderstood.Itplaysaroleinourunderstandingoffundamentalparticles,thestructureofcrystallatticesandthegeometryofmolecules.Inthisunitwewillstudythesimpleaxiomssatisfiedbygroupsandbegintodevelopbasicgrouptheoryinanaxiomaticway.Theaimofthecourseistointroducestudentstotheconceptofgroups,thenotionofanaxiomaticsystemthroughtheexampleofgrouptheory,toinvestigateelementarypropertiesofgroups,toillustratethesewithanumberofimportantexamples,suchasgenerallineargroupsandsymmetricgroups.Wegivethenecessarynotationsandbasicdefinitionsthatweusethroughoutthethesis.Firsttheconceptofsubclassisdefinedanddiscussed,theconceptofthecoset,theproblemsgroupfactorization,coset.intersection,anddoublecosetmemberforthesubclass,etc.Thecontentofthispartisthemostbasiccontentandisnecessarytolearnforstudents.Animportanttoolforthestudyofgroupsparticularlyfinitegroupsandwithcompactgroupsisrepresentationtheory.Broadlyspeaking,thisasksforpossiblewaystoviewagroupasapermutationgrouporalineargroup.Anumberofattractiveareasofrepresentationtheorylinkrepresentationsofagroupwiththoseofitssubgroups,especiallynormalsubgroups,algebraicsubgroups,andlocalsubgroups.Representationtheoryalsoconsidersimagesofgroupsintheautomorphismgroupsofotherabeliangroupsthansimplycomplexvectorspaces;thesethenarethegroupmodules.Thisisasomewhatmoreflexiblesettingthanabstractgrouptheory,sincewemoveintoanadditivecategory;modularrepresentationtheorystudiesthecaseinwhichthemodulesarevectorspacesoverfieldswithpositivecharacteristic.Atlast,thecourseisontheapplicationofgrouptheorytoQuantumMechanics.Weconsiderasymmetryoperationofthesystem.SymmetryoperationtransformtotheHamiltonoperatorsymmetry,whichisassociatedwiththerepresentationmatrix.Sothereismatrixelementtheorem,andtheorychoice.方程论是古典代数的中心课题。直到19世纪中叶，代数仍是一门以方程式论为中心的数学学科，代数方程的求解问题依然是代数的基本问题，特别是用根式求解方程。所谓方程有根式解为例，伽罗瓦从中发现了这些预解式实质上是一个二次的二项方程，既然可解原理对高次方程也适用，那么对于能用根式求解的一般高次方程，它的预解式方程组必定存在，并且所有的预解式都应是一个素数次p的二项方程xp=A。由于高斯早已证明二项方程是可用根式求解的。因此反之，如果任一高次方程所有的逐次预解式都是二项方程，则能用根式求解原方程。于是，伽罗瓦引出了根式求解原理，并且还引入了群论中的一个重要概念“正规子群”。他是这样给正规子群下定义的：设H是G的一个子群，如果对G中的每个g都有gH=Hg，则称H为G的一个正规子群，其中gH表示先实行置换g，然后再应用H的任一元素，即用G的任意元素g乘H的所有置换而得到的一个新置换集合。定义引入后，伽罗瓦证明了当作为约化方程的群如由G约化到H1的预解式是一个二项方程xp=Ap为素数时，则H1是G的一个正规子群。反之，若H1是G的正规子群，且指数为素数p，则相应的预解式一定是p次二项方程。他还定义了极大正规子群：如果一个有限群有正规子群，则必有一个子群，其阶为这有限群中所有正规子群中的最大者，这个子群称为有限群的极大正规子群。一个极大正规子群又有它自己的极大正规子群，这种序列可以逐次继续下去。因而任何一个群都可生成一个极大正规子群序列。他还提出把一个群G生成的一个极大正规子群序列标记为G、H、I、J…,则可以确定一系列的极大正规子群的合成因子=n!/2/1=n!/2，2是质数，但当n≥5时，n！/2不是质数，所以一般的高于四次的方程是不能用根式求解的。至此，伽罗瓦完全解决了方程的可解性问题。顺带提一下，阿贝尔是从交换群入手考虑问题的，他的出发点与伽罗瓦不同，但他们的结果都是相同的，都为了证其为可解群，并且伽罗瓦还把阿贝尔方程进行了推广，构造了一种现在称之为伽罗瓦方程的方程，伽罗瓦方程的每个根都是其中两个根的带有系数域中系数的有理函数。四.伽罗瓦群论的历史贡献伽罗瓦创立群论是为了应用于方程论，但他并不局限于此，而是把群论进行了推广，作用于其他研究领域。可惜的是，伽罗瓦群论的理论毕竟太深奥，对十九世纪初的人们来说是很难理解的，连当时的数学大师都不能理解他的数学思想和他的工作的实质，以至他的论文得不到发表。更不幸的是伽罗瓦在二十一岁时便因一场愚蠢的决斗而早逝，我们不得不为这位天才感到惋惜。到十九世纪六十年代，他的理论才终于为人们所理解和接受。伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。参考文献：M·克莱因．古今数学思想．北京大学数学系数学史翻译组译．上海：上海科学技术出版社，1980．鲁又文编著．数学古今谈．天津：天津科学技术出版社，1984．中外数学简史编写组．外国数学简史．山东：山东教育出版社，1987．吴文俊主编．世界著名科学家传记．北京：科学出版社，1994．TonyRothman：”伽罗瓦传”，《科学》，重庆，科学技术文献出版社重庆分社，1982年第8期，第81～92页。
  龚学进2019-12-21 22:36:26
• 这里引用的是科学出版社杨劲根编著的《近世代数讲义》中的定义哦~定义比较多，层层往前QAQ~那么开始惹O∩_∩O1：设n是一个自然数，从集合｛1，2，3，…，n｝到它自身的一个双射称为n个文字的一个置换。2：这里的1，2，3，…，n并没有数量上的意义，只是n个方便的符号而已，这就是为什么把它们叫做“文字”而不是“数字”。3：把n个文字的置换全体所构成的集合记作Sn，可以知道Sn是一个有限集合，含n!，其实就是说定义了所有的置换为一个集合，再在集合上定义了一个二元运算使其成为一个群，然后它的子群就是置换群咯O∩_∩O加油加油o≧v≦o。
  黄石凤2019-12-21 22:18:24