首先我想澄清一个事实：用等分区间的特殊办法做成的积分和极限并不能视为定积分的定义。请回顾定积分的定义，在那个定义中，是要求对区间任意地分割取近似、作和求极限，结果都要存在且相等，这里分点的插入是任意的，同时的选取也是任意的。由此可见，仅仅求出取特定specific所得的积分和极限，并不能说明这就是定积分，甚至都不足以表明定积分的存在性。当然，如果定积分存在，每种情形下积分和极限作为一个具体特例，当然就等于定积分了。我们下面要解决的问题，就是在假定该定积分存在的情况下进行处理的。设若要求在上插入个分点即以将区间等分，则每段区间长度均为第个分点为取每个区间右端点为作积分和，就得于是有其中，利用了三角公式至于末尾这个三角公式，证法有很多，比如，可以将每一项都乘上再用积化和差公式展开，求和后除了首尾两项之外，中间的都前后相消了。这里我想给出一种利用复数的做法。构作复数则于是注意到由实部对应相等，即得如果你愿意将右边两项用积化和差再做一次，就可以进一步变形为我前面给出的那个形式。